拓撲學

拓撲學是數學中非常重要而且有趣的領域。在這門課程的學習過程中，不僅會了解新的概念和方法，還會和以前學過的知識(如連續函數)結合在一起。但這不足以體現拓撲學的重要，它的重要性在於，它對數學中幾乎每一個分支都有明顯的影響。如果你想成為數學家，無論你的感興趣的是代數、分析、還是業務研究或統計，拓撲都會與它們相關。在近代數 學中，拓撲學中的一些概念，比如緊性(compactness)、連通性(connectedness)、稠密性(denseness)，像數學中集合和函數一樣基本。

拓撲學有很多不同的分支，有一般拓撲學(或稱點集拓撲)，代數拓撲(algebraic topology)，微分拓撲學，拓撲代數（topological algebra）。一般拓撲學則是拓撲的入門課。在本書中，會對一般拓撲學中的基本概念進行詳細的講述。

如果你以前沒有學習過像抽象代數這樣公理性的數學學科，學習如何證明是很困難的。因此為了幫助你學習如何去證明，在前幾章中的證明中會給出一些“旁白”，這些“旁白”並不是證明的一部分，但會把為什麼這麼證明、思路是怎麼產生的進行概述。

書中有很多的習題，只有做了大量練習後才能掌握這門課程。書後並沒有給出練習的解答，雖然這麼做很不受歡迎，但我還是要這麼做。書中已經有足夠多的例子和證明，可以幫助你做出題目，所以沒有必要再提供額外的解答。在練習中會經常給出一些新的概念，一般來説我會把我認為重要的概念在後面再次提到。

最後，我要説明一點，就是要理解數學中某一內容為什麼會產生最好的辦法就是去讀數學史。可惜的是，本書中並沒有充分的闡述。在附錄2中提供了一些拓撲 學中著名人物介紹的片段，其中大部分精選於 “The Mac Tutor History of Mathematics Archive”。當然讀者們最好還是訪問它的網站，參看完整的文章和其他重要人物的介紹。要知道，瞭解歷史參看一份材料是遠遠不夠的。

選譯自 Topology Without Tears/ SIDNY A. MORRIS [OCT.14 2007]